Gödel Escher ve Bach

  Değerli arkadaşlar bu haftaki bloğumuzun konusu başlıktan da biraz anlaşılacağı üzere Gödel Escher ve Bach'ın çalışmaları ve matematik.



   Öncelikle size biraz daha önce bloğumuzda hiç yer vermediğimiz Gödel'den bahsedeyim. Çekoslavakya doğumlu olan ve alman baskısı gibi bazı özel sebepler yüzünden Çek, Alman, Amerikan vatandaşlığı değiştirmiştir. Daha 10 yaşındayken matematiği ve dilleri öğrenmeye başlamış. Biraz fazla meraklı olan küçük Gödel çok soru sorduğu için Bay Niçin olarak anılırmış 😊 Küçük yaşında ateşli bir romatizma hastalığı geçirmiş ve bunu atlatmış. Fakat bu hastalıktan sonra kendinin hep bir kalp rahatsızlığı olduğu düşüncesiyle hareket etmiş. Oldukça tuhaf doğrusu. İlerleyen yıllarda kendisinden 10 yaş büyük biriyle bir evlilik yapmış. Bu evlilik ailesi tarafından başlarda istenmese de sonradan evlenmiş ve çocuğu olmamıştır. Başta fizik gibi alanlarda okumaya başlasa da ilgisini matematiğe yönlendirmiş.Hatta Einstein'la tanışıp onunla çok iyi arkadaşlık etmiştir. Einstein Ödülü'nü alan ilk insanlardan olmuştur. Einstein'in ölümü onu çok sarsmıştır. Eşi rahatsızlanıp bakıp evine kaldırıldıktan sonra bir paranoya geliştirip kötü insanların onu zehirleyeceği korkusuyla beslenmemeye başlamış ve hastalanıp hastaneye kaldırılmıştır ve açlıktan yeterli beslenememekten yemeyi kabul etmeyip hayatını kaybetmiştir. Oldukça tuhaf bir kişilik olduğu açık olsa gerek.

  Şimdi ise gelelim asıl konumuza. Önceki haftalarda bahsettiğimiz Bach, Escher ve Gödel'i buluşturan nokta ne? Tabii ki doğamızın taşlarını oluşturan matematik. Peki matematiğin neresinde buluşmuşlar bu bilgili arkadaşlar. Kaynağındaki çıkarımlarıma ve önceki bloğumuzda yaptığımız çalışmalara göre her birinin ortak noktada birleştiren bir paradoks gerçeği var gibi.

 Gödel ile başlamışken onunla devam edelim. Öncelikle Gödel'in paradoksu Eksiklik Teoreminden gelmektedir. Epimenides paradoksundan yola çıkarak  oluşturmuş teoremini. Nasılmış bu paradoks bakalım.

Paradoks şuradan kaynaklanmaktadır:

1. Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesini doğru kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in yalancı olması gerekir. Eğer Epimenides yalancıysa, tüm söyledikleri gibi, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesinin de yanlış olması gerekir. Doğru söylediğine inanırsak yalan söylediğini anlıyoruz. Önermenin hem doğru hem yanlış olduğu sonucu çıkar.
2. Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi yanlış kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in doğru söylüyor olması gerekir. Şu halde, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi doğru olmalıdır. Yine çelişkili bir sonuç çıkar.
3. Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz.

Yani gördüğümüz üzere kapalı bir döngü söz konusu. Eksiklik Teoremi ve Gödel paradoksu için detaylı bilgi için kaynağımıza bakabilirsiniz.

  Sıra geldi Escher'in paradokslarla ilgili eserine. Bloğumuzda önceki haftalarda yayınladığımız bu resimde sürekli yukarıya ya da aşağıya hareket etsek de hep başlangıç noktasına ulaşırız. Yani kapalı bir döngü içerisinde oluruz. 

Sağ el sol eli, sol el sağ eli çiziyor. Escher'in bir başka paradoks örneği de birbirini çizen eller eseridir.











  Bu kapalı döngünün aynı zamanda bize bir bestecimizi (Bach) hatırlattığını önceki yazılarımızda zaten belirtmiştik. Hemen zihinlerimiz Bach'ın müziğindeki yengeç kanonunu ve möbiüs şeridini anımsattı. Bu müziğinde baştan sona kadar devam ederek tekrardan başa dönüyordu. Yani yine garip bir şekilde kapalı bir döngüsel paradoks oluşmaktaydı. 



  Sonuç olarak bu üç farklı uğraş ile uğraşan dahilerimizi ortak bir noktada buluşturduk. Bir sonraki yazımda görüşmek üzere 🙋
   

ÇOK YÖNLÜ ADAM LEONARDO DA VİNCİ

 

 Sevgili arkadaşlar bu hafta yazımda sizlere başarılı ve birçoğumuzun tanımış ya da duymuş olduğu Leonardo Da vinci den örnekler vereceğim ve bunlardan kendi meslek hayatımızda (matematik) yararlanabilecek miyiz ya da nasıl yararlanabileceğimiz hakkında fikir yürütmeye çalışacağız.

  

 

 Öncelikle size Vitruvius Adamı eskizinden söz etmek istiyorum. Leonardo'nun bir çok kadavra üzerinde çalışarak insan bedeniyle ilgili başarılı çizimler yapmış olduğunu öğrendim. Bu çizimler sonrasında kendini oldukça geliştirmiştir mutlaka. 

      Antik Romalı olan bir mimar ve yazar olan Marcus Vitruvius Pollio'nun "De Architectura" adlı eserinde açıkladığı oranlardan esinlenerek yapmış olduğu çizim "Vitruvius Adamı" olarak günümüze kadar gelmiş. İncelediğimiz zaman oldukça başarılı bir çizim yaptığını söyleyebiliriz değil mi? Böyle etkili bir çizim yapmasında insan bedeninin anatomik yapısını iyi tanıması ve çizimler yapmasının etkisi olmalı tabi. 

     Eskizi incelediğimizde adamın bir kare ve çember içine sığdırılmış olduğunu görüyoruz değil mi arkadaşlar. Leonardo ya göre bu kare maddesel varlığı, çember ise ruhsal varlığı ise çember olarak belitmiş. Yani insan ve doğayı birbiriyle ilişkilendirmeye çalışmış. 

  Bir matematikçi olarak benim asıl ilgimi çeken nokta da şu eskizin altındaki ve üzerindeki yazılar. Sanatçımız burada oranların kanunundan, insanların oranlarından söz etmiş. Bu da onun oranlar hakkındaki merakını ve ilgisini gösterir. Vitruvius Adamı aynı zamanda Altın Oran'ı anlatmaktadır. Önceki haftalardaki yazılarımızdan bildiğimiz gibi bir bütün ve parçaları arasındaki mükemmel bir orandır Altın Oran. Tabii oran kavramını görmek de bir matematik öğretmeni adayı olarak hemen benimde ilgimi çeker ve bilmek isterim. Çünkü biz öğretmenler açısından öğrencilerimize matematiği somutlaştırmaya çalışmak oldukça güç olmaktadır. Gerçek hayattan somut örneklere oldukça ihtiyaç duymaktayız. Vitruvius Adamı bizim için bir öncü olarak insan vücundaki altın oranı öğrencilerimize örnek göstermek hem onlara matematiğin hayattan kopuk, soyut ve gereksiz bir ders olmaktan çıkarır hem de biz öğretmenler için  geleceğimizin mimarı olan gençlerimize matematiği sevdirmek için iyi bir seçenek olur elbet. 

 

   Benim için öne çıkan konu oran oldu. Peki biz bu oranı kendi alanımızda nerelerde kullanabiliriz arkadaşlar? Bu sorunun cevabına ulaşmak için MEB Talim ve Terbiye Kurulu'ndan yardım alalım elbette 😊 6. ve 7. sınıf Oran Orantı alt öğrenme alanı gözüme ilişti hemen. Böyle bir örneği öğrencilerimin ilgisini çekmek ve aslında orantının bir çok yerde karşımıza çıkabileceğini gösteren örneklerden biri olarak kullanabilirim . Öncesinde araştırıp gelmelerini isteyerek dersin başında kısa bir süre bundan bahsedip ilgiyi topladıktan sonra ders işleyişine geçilebilir. Zaten Altın Oran da öğrencilerin bilmesi istenen bir bilgidir.

  Matematiğimizi bir kenarda bizi beklemeye bıraktıktan sonra dönelim yine Leonardo Da Vinci'ye. Bir başka ilgimi çeken eseri de dünyaca ünlü hala çözülememiş sırları olduğu düşünülen Mona Lisa... 

  

Mona Lisa'nın Leonardo için özel biri olabileceğini düşünmüştüm. Fakat kim olduğu hakkında bilgi edinilememiş. Açıkçası yüz hatları bana bir dönem yanında yaşamış bir erkek olan hizmetçisi ve asistanı Salai'yi anımsatıyor 😊 Tablo için ilginç olan bir şey de hiç fırça darbesine rastlanmamış olması. Şimdi bizim için önemli olan bir noktaya gelelim. Öğrencilerimiz de merak edebilir bunu. Altın Oran bu tablonun neresinde?  tablonun eninde ve boyunda, Mona Lisa'nın yüz hatlarında.. Nasıl bulunduğuna bakacak olursak:

  

   Tabloda kullanılan altın oran sisteminin olduğunun anlaşılabilmesi için altın oran sisteminin kullanılış ve bulunuş şeklinin bilinmesi gerekir. Bu sistemin var olup olmadığı resim yüzeyinde tam orta kısma iki eşit dikdörtgen çizilmesi ile oluşturulmalıdır. Bu dikdörtgenlerin ortak olan kenarının, tablodaki karenin tabanını kestiği noktaya pergel konularak çizilecek olan daire sayesinde karenin karşı köşesine değmesi gerekir. Yani yarı çapı bir dikdörtgenin köşesi olur. sonra karenin tabanından çizdiğimiz daire ile kesme noktasına kadar uzatılır. Yeni çıkan bu şekli dikdörtgen geometrisine tamamladığınızda karenin yanında yeni bir dikdörtgen oluşmasını sağlarsınız. İşte bu yeni dikdörtgen Sizlere taban uzunluğunun yani karenin tabanın uzunluğunu da altın oran denilir. Karenin taban uzunluğu büyük dikdörtgen şeklinin taban uzunluğuna oranı da altın orandır.Sonuç olarak elde edilen bu büyük dikdörtgen aslında altın oran sisteminin sabit sayısı 1,618 eşittir. buda yapılan Mona Lisa resminin bir altın oran mekanizması içerisinde çizildiğini gösterir.

   Sanatçı eserlerinde altın oranı etkili bir biçimde kullanmış. Bunu bilinçli bir şekilde kullanma ihtimali yüksek bence. Altın Oran'ın doğayla uyumu bu olsa gerek. Gelelim matematikle ilişkisine. Az önce de belirttiğim gibi oran orantı açık bir şekilde vardır ve geometri. Geometri bilinmesi gerekir. Dikdörtgen, kare, daire, oranlama hatta pergel kullanımının bilinmesi gerektir. Oran orantı konusunun başında sözel olarak bu örnek verilebilir. Altın oran bu şekilde bulunabiliyorsa öğrencilerimize buldurmaya çalışabiliriz. Öğretim programını incelediğimde bir 6.ya da 7. sınıf öğrencisi bu aşamaları uygulayabilecek bilgilere sahiptir aslında. Eğer yapılabilirse ders sonunda ya da değerlendirme aşamasında uygulatmak çok verimli olabilir diye düşünüyorum. Öğrenciler de böyle bir uygulamayı başardıkları için mutlu olacaklardır ve kendilerine olan güvenleri artıp derse karşı ilgileri artacaktır ve doğada matematiği görmeye başlayacaklardır. Böylece ders onlar açısından daha öneme sahip olacağını düşünüyorum.

   Bu haftalık yazımın sonuna geldik arkadaşlar, bir sonraki yazımda buluşmak ve matematiği sevdirebilmek dileğiyle ..
   

   

ESCHER ve SANATIN MATEMATİKLE DANSI

   Sevgili okurlarım, bu hafta bloğumda Maurits Cornelis Escher ya da çokça kullanılan, kısaca M.C Escher a yer vereceğim.😊 İsterseniz gelin öncelikle hayatına göz atalım.



   1898 yılında Hollanda'nın Leeuwarden şehrinde doğmuş, inşaat mühendisi olan babası, annesi ve 4 erkek kardeşiyle birlikte 20 yaşına kadar bu şehirde yaşamış sanatçımız. İleri zamanlarda birçok farklı şehirde yaşamış ve alman işgali gibi sorunlarla yaşadığı yeri değiştirmek zorunda kalmış. Okul hayatı boyunca pek başarılı bir öğrenci olamayan Escher, yaptığı çizimleri grafik öğretmenine gösterirmiş ve onun tavsiyesi üzerine bu bölümü okumaya karar vererek grafik eğitimini okumuş ve bu bölümden mezun olmuş. Gezmeyi pek seven Escher ilerideki hayatında evlenir ve eşiyle de seyahatlere çıkar. Akdeniz'e yaptığı geziden çok etkilenen sanatçı eserlerinde buradan etkilenmesini yansıtmıştır.



   40 yaşına doğru çizimlerinin bazısını gösterdiği kardeşi Berend onu matematikle ilk kez tanıştırmış. Simetri hakkında bazı makaleler okuyarak eserlerinde uygulamaya başlamış. Sonraki yıllarda ise gelecekte ünlü olacağı eserleri olmuş. Daha sonra sonsuzluğun 2 boyutlu düzlemde aktarılmasına ilgisi oluşmaya başlamış ve o yıllarda tanıştığı bir arkadaşının eserleri ona ilham kaynağı olmuştur. İlerleyen zamanlarda 2 boyutlu ve 3 boyutlu çalışmaları içeren çizimleri olmuştur ve iyice ünü artmıştır. Üst üste geçirdiği hastalıklar sonrasında bu dev sanatçımız hayata gözlerini 73 yaşında kapatmıştır..

 Wikipedia kaynağından edindiğim bilgiler bana ışık oldu sevgili Escher hakkında. Geride bıraktığı eserlerine baktığımda böyle bir insanın dünyadan göç etmiş olması beni gerçekten üzdü. Böyle bir yeteneğe insan gerçekten şaşırıyor. Nasıl bir düşünme sistemi olabilir bilemiyor insan. Sizde merak ettiyseniz gelin bakalım neler yapmış sanatçımız..


  Escher eserlerini nasıl oluşturmuş ve bunların matematikle olan ilişkisi ne gelin birlikte bakalım.
(yardım aldığım kaynağı incelemek isterseniz tıklayın.)

  

 Bu eserinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde yapmıştır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak enteresan bir şekilde yapmış. Bu çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir.

  

 Bu eserinde yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilmiş. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

  Escher’in en ses getiren eserlerinden biri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler daha önceki haftalar bloğumuzda yer verdiğim Bach’ın müziğinde de yer alır. Yani Möbiüs şeridini  tekrar anımsattı bize.

   

  Escher'ın eserlerini incelerken bana ilginç gelen başka eserlerini de sizler için düzenleyip biraraya getirdim. Gözlerinizi farklı pencerelerden açarak incelemenizi tavsiye ederim. İçinde gizlenen matematiği doğayı, ilginçlikleri keşfetmeyi size bırakıyorum.

  Araştırmalarımı yaparken Escher hakkında harika bilgi veren bir siteye rastladım. Eserlerini nelerden esinlenerek hangi aşamalarla ilerleyip oluşturduğunu, simetriyi, sonsuzluğu, doğayı, hayvanları, möbiüsü bilmeden düşünüp üç boyutlu hale getirmesini her bir aşamayı ince ince dokumasını okurken, izlerken hayran kalacaksınız. Kesinlikle bakmanızı tavsiye ederim. Bizlere sunan yazarımıza teşekkürlerimi sunarım. Bakmak için tıklayınız.

  Escher'ın çalışmaları bana göre detaylı bir şekilde incelendiğinde nakış nakış matematik ve geometriyle dolu. Okul hayatı boyunca derslerinde başarılı olamayan sanatçının eserlerinde matematiksel düşünceyi bu kadar etkili kullanması gerçekten muazzam. Sizde dikkatli gözlerle özenle incelerseniz eserlerini bu büyülü dünyasında kendinizi unutacaksınız ve bu size eminim keyif verecek. Bu haftaki yazıma da size Escher'ın bir sözüyle veda etmek istiyorum. İyi haftalar sevgili okurlarım 😊

” Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim”.