Bloğa Veda Güzellikleri

   Sevgili okurlarım, bu hafta bloğumuzda son kez buluşuyoruz sizlerle. Bir dönem boyunca sizlere bir şeyler aktarabilmeye çalıştım umarım başarılı olmuşumdur. 😊 Son bloğumuzda sizlere paylaşacağım çok şeyler  olacak. Bu haftaki blokta sizlere matematikle ilgili okumuş olduğum bir kaç kitaptan ve ilk defa gitmiş olduğum operadan bahsedeceğim. Keyifle okuyacağınız bir blog olması dileğiyle .. 😊



Yaşayan Matematik - Theoni PAPPAS

    
Kitabı incelediğimizde kapağı bize ilk bakışta esrarengiz bir hava verse de yazarımız bu kitabında gayet güzel, eğlenceli bilgilere, oyunlara, bulmacalara yer vermiş. Bize hep sıkıcı gelen uzun zor problemler değilde kitabın isminden de anlaşılacağı gibi yaşamdan yani hayatımızın matematikle bağdaştığı birçok örnek görebiliriz bu kitapta. Ağaçlar kartaneleri, salyangoz kabuğu bir yaprak parçası vs. her gün gördüğümüz ama matematikle bir ilgisini bilmediğimiz güzellikler. Böyle güzel bizi matematikle ilgilendirecek kitaplara ihtiyacımız var aslında. Biraz da size kitabın içeriğindeki bazı bölümlerden bahsedeyim arkadaşlar. Kim bilir belki bu vesileyle sizlerde okumayı düşünebilirsiniz. 😊

   Doğada benim çokça sevdiğim şeylerden biri olan kar kristalleri ile ilgili kısımdan bahsetmek istiyorum sizlere. Öncelikle bir kar kristali nasıl çizilebilir bir düşünün bakalım. Bir eşkenar üçgen çizip her kenarını üç eş parçaya ayırıyoruz. Ortadaki parçaya birer eşkenar üçgen daha çiziyoruz ve yeni çizdiğimiz eşkenar üçgenin tabanını siliyoruz bu şekilde işlemimizi devam ettirdiğimizde çıplak gözle görmediğimiz ama gerçek bir kar kristalini andıran bir resim karşımıza çıkıyor. Ayrıca yazarımız elde edilen kristalin alanının sonlu olduğundan dolayı bu çizimi kağıt üzerinde gerçekleştirebildiğimizi söylemiş. Sizde ellerinize kağıt kaleminizi alıp denemeye ne dersiniz ? :)

 Bloglarımızda sıkça möbiüs şeridine yer verdik yeri geldi sıkıldık. Matematik için önemli olan başlangıcı ve sonu birleştiren eğriye ve ortadan ikiye kesildiğinde iki möbiüs şeridini oluşturan klein şişesinden de bahsetmiş . Klein şişesine su koyduğunuz bölümden aynı zamanda koymuş olduğunuz suyun çıktığını biliyor muydunuz ? 😏   Kitabı okurken daha önceki bloglarımda öğrendiğimiz bilgilerle karşılaşmak beni oldukça mutlu etti bunun birçok örneğine daha da rastlayabiliriz ;eğrelti otu ve fraktallarlar, salyangoz kabuğunun ve fibonaccinin bütünleşmesi, çok sık andığımız olmazsa olmaz altın oran, sonsuzluk doğada gizli olan altıgenler vs. Ayrıca yazarımız düşünmeyi gerektiren hikaye tarzında mantık sorularına yer vermiş. Sanırım aklımızda soru işareti kalmasın diye de çözümlerimizi de sona saklamış. Sizde bir matematik sever ve matematikle uğraşan biriyseniz bu kitabı okumanızı tavsiye ederim arkadaşlar 😊

Matematik Sembollerinin Kısa Tarihi - Joseph Mazur

   Matematik sembollerinin tarihini bilmeyen ya da öğrenmek isteyen arkadaşlarımıza önerebileceğim bir kitap diyebilirim. Geçtiğimiz dönemde bu konuyla alakalı bir ödevimiz vardı ve araştırma yaparken internette çok fazla bilgi olmadığını fark ettim fakat bu kitap aradığımız birçok şeyi bulmaya yardımcı oluyor. Günlük hayatta ya da bilimsel olarak kullandığımız basitten karmaşığa artı, eksi gibi bir çok sembolün hangi medeniyetlerden yada hangi aşamalardan geçerek sembolleşip günümüze kadar geldiğine yer vermiş yazarımız. Kitap yabancı dilden Türkçeye çevrilmiş ve çeviriyi yaparken kitabın tamamı değil de geçmişten günümüze kadar süren 20 ve 21. yüzyıllar arasındaki bazı kısımlara yer vermiş. Kitapta ilgimi çeken kısımları paylaşayım sizlerle.

  

  Belki aranızda birçok kişi kadın bir matematikçi de olduğunu bilmek istemiştir. Tarihteki bazı matematikçilerin matematikle ilgili hayatlarında kesitler veren yazarımız tarihteki ilk kadın matematikçi olan Hypatia'ya da yer vermiş. Bir öğretmen olan Hypatia matematiksel esere yorumlar yazmıştır. Matematikle ilgili kitaplar yazılırken yardımcı olmuş. Zaten babası da matematikçi olan Hypatia çok fazla katkısı olmasa da tarihe adını ilk olarak yazdırabilmiştir. Yazarımız başka kadın matematikçilerin hayatına da yer vermiş kitabında.

  Birçok matematik okuyanın da bildiği üzere soyut cebirle ilgili bir kısma da yer vermiş yazarımız yıllar önce semboller sayıların yerini tutarken zamanla matematik geliştikçe semboller artık kullanışsız hale gelmiştir. Zamanla matematik somuttan soyut hale gelmeye başlamış sadece matematik değil aynı zamanda geometri ve analiz de soyutlaşmıştır. Tabii bu soyutlaşmanın matematiği anlamsizlaştırdığı anlamına tamamen gelmez. Gelişim arttıkça yeni üretilen soyut matematik kurallarıyla geçmişteki problemler çözülebilmeye başlamıştır. Bu da aslında soyut matematiğin önemindedir. Günlük hayatta ise cd ve DVD lerdeki kodlama sisteminde soyut cebirden yararlanıldığını biliyor muydunuz ?

Grup teorisine de yer verilen kitapta hayvanların tüy ve pullarındaki simetrik desenlerden bahsetmiş. Bu desenlerde simetri dışında çizgi ve noktalarında matematiksel örüntülerin de olması ilginç doğrusu..

Matematik ve Mona Lisa - Prof. Bülent ATALAY

Leonardo Da Vincinin sanatının ve bilimindeki bağlantıların  anlatıldığı bir kitap arkadaşlar. Prof. Leonardo'nun eserlerini oluştururken kullandığı sanatı, bilimi, matematiği, fibonacciyi, vazgeçilmezimiz olan altın orandan bahsetmiş. Şunu belirtmek isterim arkadaşlar bu kitap sadece matematikle ilgili olan kısmıyla değil genel içerikli bir kitap. Bloğumuz matematikle alakalı olduğu için daha çok matematikle ilgili bazı örneklerden bahsettim. Kitabı ilk elinize aldığınızda gözünüz korkabilir oldukça kalın bir kitap. Okuduğum kısımlarından sizlere bahsedeyim 😉

  İlgimi çeken kısımlardan birisi sanatla dinin tekrar ayrışmasını anlatan kısım oldu. Leonardo'nun son yapıtlarından olan üç kadın'ın kabul görülen kurallardan ve dinsel sanattan kopuşu anlatıyor olmasıydı. Bu açıdan bir çoğumuz düşünmemişizdir. 

  Kitapta anlaşılacağı üzere çokça Leonardo'nun hayatına yer verilmiş. Daha önceki bloglarımızda Leonardo'ya zaten yer vermiştik. Hatta ona artık 'çok yönlü adam' ünvanını bile kondurabiliriz. Matematikten astronomiye mimariye kadar bir çok alana ilgi duymuş. Birçok eseri ve planı vardır. Birçok eseri de yarım kalmıştır. Kitabının adını verdiği Mona Lisa'nın bile yarım kaldığını düşünen araştırmacılar var. Bu kadar çok alana ilgi duyup, ilgi alanlarını değiştirdiğinden kaynaklanıyor olsa gerek. Kiabın içeriği söylediğim gibi çok geniş arkadaşlar ama size çok şey katabileceğini düşünüyorum. Bu aktardıklarım bir nokta kadar bile diyebilirim. Okumanızı tavsiye ederim. :) 

  İlk Opera Deneyimim

    İlk opera deneyimimi de yazdığım bloklarım vesilesiyle yaşamış bulundum. Operaya gitmeden önce hep değişik ahenkli çok gür sesleri hayal ederdim. Düşündüğüm gibi de oldu. 

    Operaya ilk girdiğimde ortam çok güzeldi. Görev alacak kişiler oldukça ciddi ve işlerini önemsiyorlardı. Tabi ister istemez sizde o atmosfere kapılıyorsunuz. Siyah elbiseli, yaklaşık elli kişilik bir orkestra bulunuyordu. Ardı ardına sanatçılar çıktı. Açıkça söylemek gerekirse benim için operanın hem güzel hem de çok hoşlanmadığım yanları vardı. Bazen sıkılır gibi olduğum zamanlar oldu. Bunun sebebi ise söylenilen sözleri anlayamamış olmamdı. Müziğini söyleyen sanatçı öyle içten ve yaşayarak her kelimesini telaffuz ederken onu anlayıp o güzelliği yaşamayı isterdim. Gerçekten özenle hazırlanmış bir konserdi ve operada bulunduğunu düşündüğünüz farklı sesleri duyabilirsiniz. Şunu da belirtmek isterim ki sadece anlayamadığınız sözler yok bir yerinde Türkçe olan bir ezgiyle dinledik ve çok eğlendik hareketli bir parça bizi kendimize getirdi.😊  Yani opera slow, anlaşılmayan şeylerin dışında da olabiliyor. 😊 

 

Biraz da Keşif Yapalım :)

  

  Merhaba sevgili arkadaşlar. Geçen hafta bloğumuzda doğadaki matematik örneklerinden bahsetmiştik. Bu haftayla hep birlikte bir keşfe çıkalım dedik. Bakalım en yakın çevremizde bize matematik yaptıracak neler çıkacak karşımıza? dedik ve işte size sunacağım ilk örnekler. İsterseniz gelin birlikte göz atalım. Ben derim ki yazımı okumadan ilk önce resimlere bir siz göz atın. Matematik gözüyle doğadan neler görebileceksiniz. Bu haftaki bloğumuzun size çok şeyler kazandıracağını düşünüyorum . Artık çevrenize matematikle bakmaya ne dersiniz? Hadi o zaman maraton başlasınn..

 İlk karşımıza çıkan nesnelerden birisi. Çam kozalağı ve palamut ağacı meyvesi. Her ikisinde de ilk bakışta göze hoş gelen bir düzen dikkatimizi çekiyor öyle değil mi? Peki nasıl bir matematik var bu arkadaşlarda diye bakarsak ve geçen hafta olan araştırmalarımızı hatırlarsak fraktal ve fibonacci canlanıyor hemen aklımızda .

 Kelebekler öyle hoş değil mi? Baharın habercisi, güzel renkleriyle narin narin havada süzülmesiyle okşar ruhunu insanın. Gövdesi ayırır kanatlarını ikiye adeta bir simetri aynası edasıyla kanatlarının simetrisi güzelliğine bir kere daha hayranlık oluşturur görenlerde.

Doğada bir çok bitkide ağaç yapraklarında karşılıyor adeta bizi simetri. her yerde buradayım her yerdeyim der gibi. Yaprak damarı usulca simetri aynası görevini yapıyor ve birbirinden ayırıyor yaprak uçlarını.

Ağaçlarda adım adım fraktalları anımsatıyor gözlerimizde. Ağacın bir dalı. Soğanı kestiğimizde iç içe geçmiş daireler, fraktal. Mor lahanayı ortadan kesince fraktala benzer şekiller karşımızda duruyor adeta. 










Doğada muhtemel karşılaşacağımız şeylerden biridir salyangozlar. İlginç spiraller çizerek oluşur sırtında taşıdığı evi. Kabuğundaki büklümler ise sayısal olarak artış gösteriyor. Araştırmalara göre de fibonacci sayılarını verdiği kanıtlanmış. 
 Peki ya bahar geldiğinde içinizi ısıtan papatyalara ne demeli. Her papatyanın yaprak sayıları birer fibonacci sayısını verdiğini biliyor muydunuz? Yandaki resimde de yurdumuzun bahçesinde bulunan 21 yapraklı papatyamız. 😊



  

İnsan çevresinde yaratılanların farkındalığı ile  yaşayıp farklı açılardan baktığında gerçekten birçok güzelliğin ve düzenin doğada gizlendiğini görüyor. Bunlar sadece birkaç örnek, umarım sizlere bir şeyler katabilmişimdir. İyi haftalar ..

Doğa ile Kurgulanmış Matematik

   Doğada matematik var mıdır, yoksa bu tamamen insanların ürettiği bir şey midir? Bu durum günümüzde bazı kişilerce insanların üretmesidir. Bunu kanıtlamak için de üzerinde durdukları bir durum sonsuzluk kavramıdır. Doğada hiç bir şey sonsuz değildir her şeyin bir sonu vardır şeklinde düşüncelerini savunmuşlardır. Bazı kişiler ise matematiğin doğadan gelmediğini zaten doğada var olduğunu, insanların da bunu keşfettiğini savunmuşlardır. Bugünkü bloğumuzda ise matematiğin doğadan geldiğini gösteren örneklere yer verelim 😊


   

Daha önceki yazılarımızda da verdiğimiz Fibonacci sayıları doğada var olan matematiği açıklayan örneklerden birisi aslında. Neydi Fİbonacci dizisi? Bir ve bir ile başlayıp kendinden önceki iki sayının toplamı olarak ilerleyen sayı dizimizdi. Ayçiçeğini düşünelim üzerindeki tanelerin oluşturduğu spiraller saat yönünde 55 ise saat yönünün tersinde 34 veya 89 olmakta. Çam kozalağında  5 ve 8 şeklinde karşımıza çıkıyor. Benzer durumlar muz, ananas, tütünde de karşımıza çıkıyor.

  Bal petekleri de eminim birçoğumuzun ilgisini çekmiştir. Küçükken şaşırırdım arılar nasıl oluyorda aynı şekilde bu kadar çok şeyi yapabiliyor diye. tabi bu onlar için içgüdüsel. Her petek bir düzgün altıgen, her noktanın oluşumunda üç ayrıt 120 derece açıyla birleşmekte.




   

Yakın zamanlarda karşımıza çıkan fraktalları da unutmayalım tabi. Fraktal neydi peki, bir cisim olsun o cismin hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda her defasında başlangıç şeklinin aynısını veriyorsa fraktal belirtiyordu. Doğada karşımıza ağaçlarda, brokolide, yaprakt, deniz kestanesi vs. de karşımıza bolca çıkmakta .(Kaynak)

    




Sevgili okurlarım matematiğin doğadan geldiğini savunan sadece bir kaç örneğe yer verdik bu haftaki yazımızda. Artık düşünün siz karar verin doğada matematik yok mu, matematik doğadan gelir mi ?  😊 Herkese iyi haftalar ..

Matematik ve Mimari

SELİMİYE CAMİİ, EDİRNE, TÜRKİYE

  Mimari yapılar nasıl oluyor da yıkılmadan ayakta kalıyor diye hiç düşündünüz mü? Örneğin Selimiye'nin kubbesinde daha önce hiçbir cami veya mabedde görülmemiş bir teknik kullanılmıştır. Kubbe bir yarımküre olarak yapılmış ve 8 sütun üzerine yapılmıştır. Bu ancak iyi bir matematik bilgisiyle hesaplanıp hiç düşmeden yüzyıllar boyunca kalıp günümüze kadar gelmiş olmalı.

Sinan'ın birçok eserini inceleyen ve restore eden Mimar Abdulkadir Akpınar'dan alıntı :

'Karşılaştığım bir özellikten dolayı gözlerime inanamadım. Sinan'ın eserlerinde en ufak bir çıktı ve desen dahi tesadüf değil. Renklere bile bir fonksiyon yüklenmiş. Çünkü yapıyı herşeyi ile bir bütün olarak ele almış. Bütün ölçülerini ebced hesabına göre yapmış ve bir ana temayı temel almış. Ölçülerini asal sayıya göre yapmış ve onun katlarını baz almış. İlmini din ile bütünleştirip mükemmel eserler ortaya koymuş. Örneğin Sinan Kur'an-ı Kerim'de geçen “Biz dağları yeryüzüne çivi gibi gömdük...” ayetinden etkilenerek yapılarının yer altındaki kısmını ona göre inşa etmiş. Yapıları hislerine göre değil, matematiksel olarak oluşturmuş. Bugünün teknolojisi bile Sinan'ın yapmış olduğu bazı uygulamaları çözemiyor. Küresel ve piramidal uygulamalarının bir başka benzeri daha yok. Ama bunların hepsi estetik sağladığı gibi yapının sağlamlığını da pekiştirmiştir.'

   Buradan da anlaşılacağı gibi Mimar Sinan matematiksel hesaplamalarıyla yapılarını inşa etmiş. Caminin temelini oturtmak için 8 sene beklemiş ve padişah sorduğunda ise hesaplamalarına göre ancak bu süre zarfında temelin oturacağını söylemiştir. Bu da matematiğin mimari için vazgeçilmez olduğunu bize gösterir okurlarım.

GİZA PİRAMİTLERİ , KAHİRE, MISIR

   Beni hep büyüleyen mimari eserlerden biridir Giza piramitleri. İçinde barındırdığı sırlarla üzerine çekilmiş filmlerle hep bir esrarengizlik barındırır kendi içerisinde. Giza piramitlerinin en büyüğü ve dünyanın 7 harikası olan hala günümüze kadar gelen Keops Piramididir. Peki o döneme göre bu piramidin yüksekliğinin yarısının Pi sayısını vermesi,tepe noktasından geçen meridyen karalarla denizlerin ikiye ayrıldığı nokta olması şaşırtıcı şeyler doğrusu. Sadece bununla da sınırlı değil üstelik. Piramidin bulunduğu yer dünyanın merkeziyle kuzey kutbuna eşit uzaklıkta ve piramidin yüksekliğinin 1 milyar ile çarpımı güneş ile dünya arasındaki mesafeye eşit, piramidin 4 yüzeyinin yüzölçümü toplamı yüksekliğinin karesine eşit. Üstelik firavun Keops'un doğum ve tahta çıkış günleri olmak üzere yılda sadece iki kez içerisine güneş ışınları giriyor 😲 

EDEN PROJECT, CORNWALL, İNGİLTERE

    Bir ortaokul ya da ilkokul öğrencisi olduğumuzu düşünelim . Resme baktığında matematiksel olarak neleri gördüğünü sorsak muhtemelen bize  birçok altıgenler beşgenler ve yarım daireler gördüğünü söyler. haksızda değil zaten karşımıza geometrik şekiller çıkmış durumda 😊 Peki burası neresi  ? Dünyanın en büyük serası olan Eden Project. Sanki bir kelebek kozası ya da karınca yumurtalarını andıran bu tesis Fibonacci sayı diziliminden esinlenerek yapılmış..

      Konya/Kelebekler Vadisi

 Ülkemizde de var aslında böyle bir yer. Dün gittiğim Konya gezisinde çıktı karşıma hemen aklıma geldi :) Kelebekler Vadisi'nin süslemesinde de geometriden yararlanılmış. Baktığımızda birçok kare ve onun köşegenleriyle ikiye ayrılmış ikizkenar üçgenleri görüyoruz. Köşelerde de minik toplar 😊

amiens katedrali, pıcardie, fransa

           

                Amiens Katedrali; Planın altın Oran dikdörtgeni ile ortadan açılarak oluşturulması (Murray, 1996)

     Ortaçağda yapılan en büyük katedrallerden birisini örnek alalım şimdide. Gördüğümüz gibi katedralin mimarisinde altın oran ve kök iki dikdörtgeni basit hesaplar yardımıyla mimari düzenlemede kullanılmış. O dönemde geometrinin kullanıldığını sadece bu örnekte görmek bile yeterli doğrusu.


   Doğada birçok şekilde karşımıza çıkan matematiğin mimaride de bizi bulduğunu görüyoruz. Mühendislerimizin mimarlarımızın bir uzvu gibidir matematik. Gerek binanın ayakta kalmasında, sağlamlığını arttırmada hangi malzemeden ne kadar yararlanacağında hep yardımcı olmakta. Bir tek bunlarla sınırlı değil artık mimari yapılarımızın güzelliğini göstermede geometrik desenlerde karşımıza çıkıyor Eden Project'teki gibi.. Gayet güzel değil mi mimaride geometrik desenler. Selimiye de kubbe duvar süslemelerindeki nakışlarda pek de güzel olmamış mı örüntülü, simetrik, sıralı süslemeler. 

Çevremize baktığımızda adeta bizi selamlıyor doğanın hücresi gibi matematik ..

Gödel Escher ve Bach

  Değerli arkadaşlar bu haftaki bloğumuzun konusu başlıktan da biraz anlaşılacağı üzere Gödel Escher ve Bach'ın çalışmaları ve matematik.



   Öncelikle size biraz daha önce bloğumuzda hiç yer vermediğimiz Gödel'den bahsedeyim. Çekoslavakya doğumlu olan ve alman baskısı gibi bazı özel sebepler yüzünden Çek, Alman, Amerikan vatandaşlığı değiştirmiştir. Daha 10 yaşındayken matematiği ve dilleri öğrenmeye başlamış. Biraz fazla meraklı olan küçük Gödel çok soru sorduğu için Bay Niçin olarak anılırmış 😊 Küçük yaşında ateşli bir romatizma hastalığı geçirmiş ve bunu atlatmış. Fakat bu hastalıktan sonra kendinin hep bir kalp rahatsızlığı olduğu düşüncesiyle hareket etmiş. Oldukça tuhaf doğrusu. İlerleyen yıllarda kendisinden 10 yaş büyük biriyle bir evlilik yapmış. Bu evlilik ailesi tarafından başlarda istenmese de sonradan evlenmiş ve çocuğu olmamıştır. Başta fizik gibi alanlarda okumaya başlasa da ilgisini matematiğe yönlendirmiş.Hatta Einstein'la tanışıp onunla çok iyi arkadaşlık etmiştir. Einstein Ödülü'nü alan ilk insanlardan olmuştur. Einstein'in ölümü onu çok sarsmıştır. Eşi rahatsızlanıp bakıp evine kaldırıldıktan sonra bir paranoya geliştirip kötü insanların onu zehirleyeceği korkusuyla beslenmemeye başlamış ve hastalanıp hastaneye kaldırılmıştır ve açlıktan yeterli beslenememekten yemeyi kabul etmeyip hayatını kaybetmiştir. Oldukça tuhaf bir kişilik olduğu açık olsa gerek.

  Şimdi ise gelelim asıl konumuza. Önceki haftalarda bahsettiğimiz Bach, Escher ve Gödel'i buluşturan nokta ne? Tabii ki doğamızın taşlarını oluşturan matematik. Peki matematiğin neresinde buluşmuşlar bu bilgili arkadaşlar. Kaynağındaki çıkarımlarıma ve önceki bloğumuzda yaptığımız çalışmalara göre her birinin ortak noktada birleştiren bir paradoks gerçeği var gibi.

 Gödel ile başlamışken onunla devam edelim. Öncelikle Gödel'in paradoksu Eksiklik Teoreminden gelmektedir. Epimenides paradoksundan yola çıkarak  oluşturmuş teoremini. Nasılmış bu paradoks bakalım.

Paradoks şuradan kaynaklanmaktadır:

1. Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesini doğru kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in yalancı olması gerekir. Eğer Epimenides yalancıysa, tüm söyledikleri gibi, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesinin de yanlış olması gerekir. Doğru söylediğine inanırsak yalan söylediğini anlıyoruz. Önermenin hem doğru hem yanlış olduğu sonucu çıkar.
2. Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi yanlış kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in doğru söylüyor olması gerekir. Şu halde, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi doğru olmalıdır. Yine çelişkili bir sonuç çıkar.
3. Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz.

Yani gördüğümüz üzere kapalı bir döngü söz konusu. Eksiklik Teoremi ve Gödel paradoksu için detaylı bilgi için kaynağımıza bakabilirsiniz.

  Sıra geldi Escher'in paradokslarla ilgili eserine. Bloğumuzda önceki haftalarda yayınladığımız bu resimde sürekli yukarıya ya da aşağıya hareket etsek de hep başlangıç noktasına ulaşırız. Yani kapalı bir döngü içerisinde oluruz. 

Sağ el sol eli, sol el sağ eli çiziyor. Escher'in bir başka paradoks örneği de birbirini çizen eller eseridir.











  Bu kapalı döngünün aynı zamanda bize bir bestecimizi (Bach) hatırlattığını önceki yazılarımızda zaten belirtmiştik. Hemen zihinlerimiz Bach'ın müziğindeki yengeç kanonunu ve möbiüs şeridini anımsattı. Bu müziğinde baştan sona kadar devam ederek tekrardan başa dönüyordu. Yani yine garip bir şekilde kapalı bir döngüsel paradoks oluşmaktaydı. 



  Sonuç olarak bu üç farklı uğraş ile uğraşan dahilerimizi ortak bir noktada buluşturduk. Bir sonraki yazımda görüşmek üzere 🙋
   

ÇOK YÖNLÜ ADAM LEONARDO DA VİNCİ

 

 Sevgili arkadaşlar bu hafta yazımda sizlere başarılı ve birçoğumuzun tanımış ya da duymuş olduğu Leonardo Da vinci den örnekler vereceğim ve bunlardan kendi meslek hayatımızda (matematik) yararlanabilecek miyiz ya da nasıl yararlanabileceğimiz hakkında fikir yürütmeye çalışacağız.

  

 

 Öncelikle size Vitruvius Adamı eskizinden söz etmek istiyorum. Leonardo'nun bir çok kadavra üzerinde çalışarak insan bedeniyle ilgili başarılı çizimler yapmış olduğunu öğrendim. Bu çizimler sonrasında kendini oldukça geliştirmiştir mutlaka. 

      Antik Romalı olan bir mimar ve yazar olan Marcus Vitruvius Pollio'nun "De Architectura" adlı eserinde açıkladığı oranlardan esinlenerek yapmış olduğu çizim "Vitruvius Adamı" olarak günümüze kadar gelmiş. İncelediğimiz zaman oldukça başarılı bir çizim yaptığını söyleyebiliriz değil mi? Böyle etkili bir çizim yapmasında insan bedeninin anatomik yapısını iyi tanıması ve çizimler yapmasının etkisi olmalı tabi. 

     Eskizi incelediğimizde adamın bir kare ve çember içine sığdırılmış olduğunu görüyoruz değil mi arkadaşlar. Leonardo ya göre bu kare maddesel varlığı, çember ise ruhsal varlığı ise çember olarak belitmiş. Yani insan ve doğayı birbiriyle ilişkilendirmeye çalışmış. 

  Bir matematikçi olarak benim asıl ilgimi çeken nokta da şu eskizin altındaki ve üzerindeki yazılar. Sanatçımız burada oranların kanunundan, insanların oranlarından söz etmiş. Bu da onun oranlar hakkındaki merakını ve ilgisini gösterir. Vitruvius Adamı aynı zamanda Altın Oran'ı anlatmaktadır. Önceki haftalardaki yazılarımızdan bildiğimiz gibi bir bütün ve parçaları arasındaki mükemmel bir orandır Altın Oran. Tabii oran kavramını görmek de bir matematik öğretmeni adayı olarak hemen benimde ilgimi çeker ve bilmek isterim. Çünkü biz öğretmenler açısından öğrencilerimize matematiği somutlaştırmaya çalışmak oldukça güç olmaktadır. Gerçek hayattan somut örneklere oldukça ihtiyaç duymaktayız. Vitruvius Adamı bizim için bir öncü olarak insan vücundaki altın oranı öğrencilerimize örnek göstermek hem onlara matematiğin hayattan kopuk, soyut ve gereksiz bir ders olmaktan çıkarır hem de biz öğretmenler için  geleceğimizin mimarı olan gençlerimize matematiği sevdirmek için iyi bir seçenek olur elbet. 

 

   Benim için öne çıkan konu oran oldu. Peki biz bu oranı kendi alanımızda nerelerde kullanabiliriz arkadaşlar? Bu sorunun cevabına ulaşmak için MEB Talim ve Terbiye Kurulu'ndan yardım alalım elbette 😊 6. ve 7. sınıf Oran Orantı alt öğrenme alanı gözüme ilişti hemen. Böyle bir örneği öğrencilerimin ilgisini çekmek ve aslında orantının bir çok yerde karşımıza çıkabileceğini gösteren örneklerden biri olarak kullanabilirim . Öncesinde araştırıp gelmelerini isteyerek dersin başında kısa bir süre bundan bahsedip ilgiyi topladıktan sonra ders işleyişine geçilebilir. Zaten Altın Oran da öğrencilerin bilmesi istenen bir bilgidir.

  Matematiğimizi bir kenarda bizi beklemeye bıraktıktan sonra dönelim yine Leonardo Da Vinci'ye. Bir başka ilgimi çeken eseri de dünyaca ünlü hala çözülememiş sırları olduğu düşünülen Mona Lisa... 

  

Mona Lisa'nın Leonardo için özel biri olabileceğini düşünmüştüm. Fakat kim olduğu hakkında bilgi edinilememiş. Açıkçası yüz hatları bana bir dönem yanında yaşamış bir erkek olan hizmetçisi ve asistanı Salai'yi anımsatıyor 😊 Tablo için ilginç olan bir şey de hiç fırça darbesine rastlanmamış olması. Şimdi bizim için önemli olan bir noktaya gelelim. Öğrencilerimiz de merak edebilir bunu. Altın Oran bu tablonun neresinde?  tablonun eninde ve boyunda, Mona Lisa'nın yüz hatlarında.. Nasıl bulunduğuna bakacak olursak:

  

   Tabloda kullanılan altın oran sisteminin olduğunun anlaşılabilmesi için altın oran sisteminin kullanılış ve bulunuş şeklinin bilinmesi gerekir. Bu sistemin var olup olmadığı resim yüzeyinde tam orta kısma iki eşit dikdörtgen çizilmesi ile oluşturulmalıdır. Bu dikdörtgenlerin ortak olan kenarının, tablodaki karenin tabanını kestiği noktaya pergel konularak çizilecek olan daire sayesinde karenin karşı köşesine değmesi gerekir. Yani yarı çapı bir dikdörtgenin köşesi olur. sonra karenin tabanından çizdiğimiz daire ile kesme noktasına kadar uzatılır. Yeni çıkan bu şekli dikdörtgen geometrisine tamamladığınızda karenin yanında yeni bir dikdörtgen oluşmasını sağlarsınız. İşte bu yeni dikdörtgen Sizlere taban uzunluğunun yani karenin tabanın uzunluğunu da altın oran denilir. Karenin taban uzunluğu büyük dikdörtgen şeklinin taban uzunluğuna oranı da altın orandır.Sonuç olarak elde edilen bu büyük dikdörtgen aslında altın oran sisteminin sabit sayısı 1,618 eşittir. buda yapılan Mona Lisa resminin bir altın oran mekanizması içerisinde çizildiğini gösterir.

   Sanatçı eserlerinde altın oranı etkili bir biçimde kullanmış. Bunu bilinçli bir şekilde kullanma ihtimali yüksek bence. Altın Oran'ın doğayla uyumu bu olsa gerek. Gelelim matematikle ilişkisine. Az önce de belirttiğim gibi oran orantı açık bir şekilde vardır ve geometri. Geometri bilinmesi gerekir. Dikdörtgen, kare, daire, oranlama hatta pergel kullanımının bilinmesi gerektir. Oran orantı konusunun başında sözel olarak bu örnek verilebilir. Altın oran bu şekilde bulunabiliyorsa öğrencilerimize buldurmaya çalışabiliriz. Öğretim programını incelediğimde bir 6.ya da 7. sınıf öğrencisi bu aşamaları uygulayabilecek bilgilere sahiptir aslında. Eğer yapılabilirse ders sonunda ya da değerlendirme aşamasında uygulatmak çok verimli olabilir diye düşünüyorum. Öğrenciler de böyle bir uygulamayı başardıkları için mutlu olacaklardır ve kendilerine olan güvenleri artıp derse karşı ilgileri artacaktır ve doğada matematiği görmeye başlayacaklardır. Böylece ders onlar açısından daha öneme sahip olacağını düşünüyorum.

   Bu haftalık yazımın sonuna geldik arkadaşlar, bir sonraki yazımda buluşmak ve matematiği sevdirebilmek dileğiyle ..
   

   

ESCHER ve SANATIN MATEMATİKLE DANSI

   Sevgili okurlarım, bu hafta bloğumda Maurits Cornelis Escher ya da çokça kullanılan, kısaca M.C Escher a yer vereceğim.😊 İsterseniz gelin öncelikle hayatına göz atalım.



   1898 yılında Hollanda'nın Leeuwarden şehrinde doğmuş, inşaat mühendisi olan babası, annesi ve 4 erkek kardeşiyle birlikte 20 yaşına kadar bu şehirde yaşamış sanatçımız. İleri zamanlarda birçok farklı şehirde yaşamış ve alman işgali gibi sorunlarla yaşadığı yeri değiştirmek zorunda kalmış. Okul hayatı boyunca pek başarılı bir öğrenci olamayan Escher, yaptığı çizimleri grafik öğretmenine gösterirmiş ve onun tavsiyesi üzerine bu bölümü okumaya karar vererek grafik eğitimini okumuş ve bu bölümden mezun olmuş. Gezmeyi pek seven Escher ilerideki hayatında evlenir ve eşiyle de seyahatlere çıkar. Akdeniz'e yaptığı geziden çok etkilenen sanatçı eserlerinde buradan etkilenmesini yansıtmıştır.



   40 yaşına doğru çizimlerinin bazısını gösterdiği kardeşi Berend onu matematikle ilk kez tanıştırmış. Simetri hakkında bazı makaleler okuyarak eserlerinde uygulamaya başlamış. Sonraki yıllarda ise gelecekte ünlü olacağı eserleri olmuş. Daha sonra sonsuzluğun 2 boyutlu düzlemde aktarılmasına ilgisi oluşmaya başlamış ve o yıllarda tanıştığı bir arkadaşının eserleri ona ilham kaynağı olmuştur. İlerleyen zamanlarda 2 boyutlu ve 3 boyutlu çalışmaları içeren çizimleri olmuştur ve iyice ünü artmıştır. Üst üste geçirdiği hastalıklar sonrasında bu dev sanatçımız hayata gözlerini 73 yaşında kapatmıştır..

 Wikipedia kaynağından edindiğim bilgiler bana ışık oldu sevgili Escher hakkında. Geride bıraktığı eserlerine baktığımda böyle bir insanın dünyadan göç etmiş olması beni gerçekten üzdü. Böyle bir yeteneğe insan gerçekten şaşırıyor. Nasıl bir düşünme sistemi olabilir bilemiyor insan. Sizde merak ettiyseniz gelin bakalım neler yapmış sanatçımız..


  Escher eserlerini nasıl oluşturmuş ve bunların matematikle olan ilişkisi ne gelin birlikte bakalım.
(yardım aldığım kaynağı incelemek isterseniz tıklayın.)

  

 Bu eserinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde yapmıştır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak enteresan bir şekilde yapmış. Bu çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir.

  

 Bu eserinde yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilmiş. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

  Escher’in en ses getiren eserlerinden biri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler daha önceki haftalar bloğumuzda yer verdiğim Bach’ın müziğinde de yer alır. Yani Möbiüs şeridini  tekrar anımsattı bize.

   

  Escher'ın eserlerini incelerken bana ilginç gelen başka eserlerini de sizler için düzenleyip biraraya getirdim. Gözlerinizi farklı pencerelerden açarak incelemenizi tavsiye ederim. İçinde gizlenen matematiği doğayı, ilginçlikleri keşfetmeyi size bırakıyorum.

  Araştırmalarımı yaparken Escher hakkında harika bilgi veren bir siteye rastladım. Eserlerini nelerden esinlenerek hangi aşamalarla ilerleyip oluşturduğunu, simetriyi, sonsuzluğu, doğayı, hayvanları, möbiüsü bilmeden düşünüp üç boyutlu hale getirmesini her bir aşamayı ince ince dokumasını okurken, izlerken hayran kalacaksınız. Kesinlikle bakmanızı tavsiye ederim. Bizlere sunan yazarımıza teşekkürlerimi sunarım. Bakmak için tıklayınız.

  Escher'ın çalışmaları bana göre detaylı bir şekilde incelendiğinde nakış nakış matematik ve geometriyle dolu. Okul hayatı boyunca derslerinde başarılı olamayan sanatçının eserlerinde matematiksel düşünceyi bu kadar etkili kullanması gerçekten muazzam. Sizde dikkatli gözlerle özenle incelerseniz eserlerini bu büyülü dünyasında kendinizi unutacaksınız ve bu size eminim keyif verecek. Bu haftaki yazıma da size Escher'ın bir sözüyle veda etmek istiyorum. İyi haftalar sevgili okurlarım 😊

” Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim”.